[책 리뷰]이해하는 미적분 수업

이해하는 미적분 수업
지은이 : 데이비드 애치슨
옮긴이 : 김의석
펴낸곳 : 바다출판사 

"풀지 못한 미적분은 무용하고
이해하지 못한 미적분은 공허하다"  

뭔가를 이해한다고 할 때 보통 직관적으로 한 눈에 들어오기를 원합니다. 저는 미적분을 풀 수는 있어도 그런 이해했다하는 깔끔한 느낌, 선명함이 없었습니다.
그 부분을 해소하기 위해서 읽었지만 사실 이 책이 고등학교나 대학교 때의 미적분학 교과서와 별 차이가 있지는 않았습니다. 오히려 상세함으로는 교과서를 읽는 것이 더 나아보입니다. 

하지만 이 책이 가져다주는 장점이 없는 것은 아닙니다. 이 책은 미적분 아이디어의 발달을  설명하면서 역사적 배경도 함께 설명하는데 이런 배경설명이 은근 도움이 됩니다.
우리 수학, 과학 교육의 맹점인데 수학이나 과학을 공부할 때 배경에 대해서 너무 간략하게 배웁니다. 그래서 그 공식이라던지  증명이라던지 이런 것들이 하늘에서 뚝 떨어진것처럼 보입니다. 생뚱맞죠. 
그런면에서 책의 배경 설명이 반갑습니다. 

고등학교때 극한의 직관적 정의를 배울 때마다 선생님이 그 정의가 엄밀하지 않다고 덧붙입니다.

그러면 우리는 어리둥절해집니다.

'이미 충분한 것같은데 뭘 더 엄밀하게 하겠다는거지?'
대학교에 가서 엡실론 델타로 엄밀한 정의를 배우면 또 그런 생각을 하죠.
'이미 충분한 것같은데 골치 아프게 굳이 왜 이런 짓거리를 한단말인가!'
물론 무식하다고 손가락질할 것같아서 말로 하진 않습니다.
이 엄밀성에 대해서 '어느 부분이 어떻게 애매했는데 어떻게 해결했다'하는 것을 잘 설명해줍니다. 

미분을 바라볼 때 비율의 극한으로 보는 시각이 있고, 무한소의 비율로 보는 시각이 있습니다. 미분을 공부할 때 처음은 그렇게 섞어쓰다가 어느 순간 무한소에 대해 모른척합니다. 행방불명이 된 무한소는 어디로 간것일까요? 어려운 내용이어서 그런지 정확한 위치는 말해주지 않지만 비표준해석학이라는 분야에서 위치해있다고합니다. 

책의 많은 부분이 극한, 무한소, 무한 에 대한 내용입니다. 그로부터 책에서는 명시적으로 언급되지 않은듯하지만 미적분이 어려운 이유에 대해서 저 스스로 짐작할 수 있었습니다. 미적분은 극한, 무한과 연결되어 있습니다. 그리고 무한은 현대 집합론, 수 체계와 관련되어 있습니다. 현대 수학은 어렵고 그래서 미적분은 어렵습니다. 

인상깊게 읽은 구절 두 부분을 씁니다. 

"(극한의 엄밀한 정의를 한) 바이어슈트라스의 업적은 과거가 아닌 미래를 향한 일이었으며, 미적분학뿐만 아니라 수의 개념에서도 그 토대를 굳건히 했다."

"내가 생각하기로는 미적분학의 기초와 토대를 제대로 이해하려면 극한과 무한소라는 두 생각 중 하나는 이해해야 한다. 대부분의 수학자는 둘 가운데 첫 번째 것을 선택해왔다. 적어도 지금까지는 그렇다. 그러나 어느 쪽이든 선택은 우리의 몫이다."

 

참고:

1. 극한으로 미분에 접근

\( \frac {dy}{dx} = \lim_{ \delta x \to 0 } \frac { \delta y }{\delta x} \)

 

2. 무한소로 미분에 접근

\( \frac {dy}{dx} \) 는 무한소 \( dy \) 와 \( dx \) 의 비율