2020. 7. 24. 22:52ㆍ고등수학/수학(상)
1. 근과 계수의 관계
이차방정식 \( ax^{2}+bx+c=0 \)의 두 근이 \( \alpha, \; \beta \)일 때,
\( ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) \)로 나타낼 수 있을 것이다.
이로부터 다음 관계가 유도된다.
(1)\( \alpha+\beta=- \frac{b}{a} \)
(2)\( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)
(3)\( | \alpha - \beta | = \frac{ \sqrt{b^{2}-4ac} }{ |a| } \)
첨언. 이차방정식의 두 해가 주어진 경우,
\( (x-\alpha)(x-\beta)=0 \implies x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta =0 \)이 된다.
문제에서 두 해가 주어지면 자동적으로 방정식부터 만들어놓고 보자.
2. 켤레근
(1)\(a, \), \(b\), \(c\)가 유리수일 때,
한근이 \( p+q\sqrt{m} \)이면 다른 한근은 \( p-q\sqrt{m} \)이다.
( \(p\), \(q\), \( m \)은 유리수, \( \sqrt{m} \)는 무리수 )
(2)\(a\), \(b\), \(c\)가 실수일 때,
한근이 \( p+qi \)이면 다른 한근은 \( p-qi \)이다.
( \(p\), \(q\)는 실수, \( i \)는 허수단위 )
첨언. (1), (2) 경우 모두에서 두 근을 덧셈, 곱셈할 때, 무리수 부분, 허수부분이 사라짐을 볼 수 있다.
\( (p+q\sqrt{m})+(p-q\sqrt{m})=2p \) \( \implies \) 유리수
\( (p+q\sqrt{m})(p-q\sqrt{m})=p^{2}-q^{2}m \) \( \implies \) 유리수
\( (p+qi)+(p-qi)=2p \) \( \implies \) 실수
\( (p+qi)(p-qi)=p^{2}+q^{2} \) \( \implies \) 실수
3. 이차방정식의 실근의 부호
(1) 두 근이 모두 양수 \( \iff D \geq 0, \; \alpha+\beta >0, \; \alpha \beta >0 \)
(2) 두 근이 모두 음수 \( \iff D \geq 0, \; \alpha+\beta <0, \; \alpha \beta >0 \)
(3) 두 근의 부호가 서로 다르다 \( \iff \alpha \beta <0 \)
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