8. 이차방정식의 근과 계수의 관계

1. 근과 계수의 관계

이차방정식 \( ax^{2}+bx+c=0 \)의 두 근이 \( \alpha, \; \beta \)일 때, 

\( ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) \)로 나타낼 수 있을 것이다.

이로부터 다음 관계가 유도된다.

(1)\( \alpha+\beta=- \frac{b}{a} \)

(2)\( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)

(3)\( | \alpha - \beta | = \frac{ \sqrt{b^{2}-4ac} }{ |a| } \)

첨언. 이차방정식의 두 해가 주어진 경우,

\( (x-\alpha)(x-\beta)=0 \implies x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta =0 \)이 된다.

문제에서 두 해가 주어지면 자동적으로 방정식부터 만들어놓고 보자.

 

2. 켤레근

(1)\(a, \), \(b\), \(c\)가 유리수일 때,

한근이 \( p+q\sqrt{m} \)이면 다른 한근은  \( p-q\sqrt{m} \)이다.

( \(p\), \(q\), \( m \)은 유리수, \( \sqrt{m} \)는 무리수 )

(2)\(a\), \(b\), \(c\)가 실수일 때,

한근이 \( p+qi \)이면 다른 한근은 \( p-qi \)이다.

( \(p\), \(q\)는 실수, \( i \)는 허수단위 )

첨언. (1), (2) 경우 모두에서 두 근을 덧셈, 곱셈할 때, 무리수 부분, 허수부분이 사라짐을 볼 수 있다.

\( (p+q\sqrt{m})+(p-q\sqrt{m})=2p \) \( \implies \) 유리수

\( (p+q\sqrt{m})(p-q\sqrt{m})=p^{2}-q^{2}m \) \( \implies \) 유리수

\( (p+qi)+(p-qi)=2p \) \( \implies \) 실수

\( (p+qi)(p-qi)=p^{2}+q^{2} \) \( \implies \) 실수

 

3. 이차방정식의 실근의 부호

(1) 두 근이 모두 양수 \( \iff  D \geq 0, \; \alpha+\beta >0, \; \alpha \beta >0 \)

(2) 두 근이 모두 음수 \( \iff  D \geq 0, \; \alpha+\beta <0, \; \alpha \beta >0 \)

(3) 두 근의 부호가 서로 다르다 \( \iff \alpha \beta <0 \)