7. 이차방정식과 판별식

1.이차방정식

\( ax^{2}+bx+c=0 \)  ( \( a \neq 0 \), a, b, c는 실수 ) 일 때,

\( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \)

\( x^{2}+\frac{b}{a}x+( \frac{b}{2a} )^{2}- (\frac{b}{2a})^{2}+\frac{c}{a}=0 \)

\( (x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a} \)

\(=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \)

\(x+\frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \)

\( x=-\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \)

\(=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \)

 

문제에서 주어지는 방정식의 형태는 

\(ax^{2}+bx+c=0 \), \( (x+A)^{2}=B \), \( (ax-b)(cx-d)=0  \) 처럼

다양할 수 있다. 하지만 기본은 인수분해이다.

위의 근의 공식 유도과정을 살펴보면 

\( (x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \implies (x+A)^{2}=B \)

\( A( x+\frac{b}{2a}+\frac{ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ) ( x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} )=0 \)

\( \implies (ax-b)(cx-d)=0 \)

라는 것을 알 수 있다.

 

근의 공식을 일부러 외울려고 하지 말고 유도 과정 전체를 외우자. 그리고 문제를 풀 때마다 유도 과정을 거쳐서 풀도록 하자. 경험이 쌓이면 자연스럽게 외워지며, 설사 공식을 잊거나 헷갈리는 경우가 생기더라도 원리를 알기 때문에 다시 유도하여 풀면된다. 이렇게 하면 시험때 시간이 모자랄 것을 걱정할 수도 있다. 물론 시간이 부족해진다. 하지만 시간은 모르는게 없을 때나 중요한 것이다. 처음은 일단 "내용을 잘 아는 것"을 우선시 해야한다. 문제풀이를 반복하다보면 공식도 자연스레 외워지고 시간도 자연스럽게 단축된다.

 

2. 판별식

근의 공식 \( x= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \) 에서 근호 안의 \( b^{2}-4ac \)의 부호에 따라 근의 성질이 달라진다. 판별식은 영어로 Discriminant라고 하는데 첫 글자를 따서 보통 \( D \)라고 나타낸다.

\( D=b^{2}-4ac \)

판별식의 부호에 따른 근의 성질은 다음과 같다.

(1) \( D>0 \) : 서로 다른 두 실근 \( \implies a(x-\alpha)(x-\beta)=0 \)

(2) \( D=0 \) : 서로 같은 두 실근(중근) \( \implies a(x-\alpha)^{2}=0 \)

(3) \( D<0 \) : 서로 다른 두 허근 \( a(x-z_1)(x-z_2)=0 \)  ( \(z_1\), \(z_2\)는 허수 )

첨언 : (3)에서 이차방정식 \(ax^{2}+bx+c=0\)이 두 허근을 가질 때,

계수 \( a, \; bx, \; c \)가 실수라면 \( ax^{2}+bx+c=0 \)의 두 허근은 켤레복소수가 된다.

즉 \( p+qi \), \(p-qi\) 꼴이다. 

만약에 두 허근이 켤레복소수가 아닌 경우, 이를테면 \( p_1+q_1 i \), \(p_2+q_2 i \)와 같은 꼴이려면 계수 \( a, \; b, \; c \)가 모두 실수일 수는 없다.

 

3. 판별식의 활용

(1) \( D=0  \iff  f(x) \)는 완전제곱식

(2) 실수 조건의 활용

①\( f(x,y)=0\)을 만족하는 실수 \( x,\; y\)가 존재한다

②\( f(x,y) \)를 \( x \)에 관해 정리하면 \( x \)에 관한 이차식이 된다

조건 ①, ②를 만족하면 \( f(x,y) \)를 \(x\)에 관해 정리한 후 판별식을 사용하여 \( y \)가 만족해야 하는 조건을 뽑아낼 수 있다. 때에 따라서는 \( y \)값을 구할 수 있는 경우도 있다.