5. 복소수

1. 허수

 \( x^{2}=-1 \)을 만족하는 수 \( x\)를 허수단위라 하고,

\( i=\sqrt{-1} \) 라고 나타낸다.

당연히 \( i^{2}=-1 \)이다.

 

2. 복소수

임의의 실수 a, b에 대해 \( a+bi \)를 복소수라고 한다.

여기서 a를 실수부분, b를 허수부분이라고 한다.

 

3. 실수 a, b, c, d에 대해 

\( a+bi=c+di \iff a=c, b=d \)

 

4. 켤레복소수

복소수 a+bi에 대해 a-bi를 켤레복소수라고 하고 

\( \overline {a+bi}=a-bi \)로 나타낸다

당연히 \( \overline {a-bi}=a+bi \)이다.

(1) \(   \overline { ( \overline {z_1} ) } =z_1  \)

(2) \(  z_1+ \overline {z_1} =(실수)    \),  \(  z_1 \overline { z_1 } =(실수)   \)

(3) \(   \overline { z_1 }=z_1 \iff z_1 \)은 실수  

(4) \(   \overline {z_1 } = -z_1 \iff z_1   \)은 순허수 혹은 0

(5) \(  \overline {z_1+z_2} = \overline {z_1} + \overline {z_2}    \), 

\(   \overline {z_1-z_2} = \overline {z_1} - \overline {z_2}   \)

(6) \(  \overline {z_1z_2} = \overline {z_1} \times \overline {z_2} \)

\( \Large \overline {\left( \frac{z_1}{z_2} \right)} \normalsize = \Large \frac{ \overline{z_1} }{ \overline{z_2}}    \)  (단,\(   z_2 \neq 0   \) )

 

5. 복소수의 사칙연산

a, b, c, d가 실수일 때,

(1) 덧셈 : (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

(2) 뺄셈 : (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

(3) 곱셈 : (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(4) 나눗셈 : \(   c+di \neq 0  \)일 때

\(  \Large { \frac{a+bi}{c+di} } \)

\( =\Large {\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} } \)

\( =\Large \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} \normalsize + \Large \frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}} \normalsize i   \)

 

6. 복소수 연산의 성질

복소수는 덧셈과 곱셈에 대하여 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.

(1) 교환법칙 : \(  z_1+z_2=z_2+z_1    \),  \(   z_1z_2=z_2 z_1   \)

(2) 결합법칙 : \(  (z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)    \),  \(  (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)    \)

(3) 분배법칙 : \(  z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3    \),  \(  (z_1+z_2)z_3=z_1z_3+z_2z_3    \)

 

7. 음수의 제곱근

(1) \(   a>0   \)일 때

  \( \sqrt{-a}=\sqrt{a}i \) 라고 정의한다

(2)음수의 제곱근의 성질

\(   a<0  \), \( b<0    \)이면 

\(  \sqrt{a} \sqrt{b}=- \sqrt{ab}   \)

\(   a>0  \), \(  b<0   \)이면

\( \Large {\sqrt{a} \over \sqrt{b}}  \normalsize = - \Large \sqrt{ \frac{a}{b} }  \)