4. 다항식의 나눗셈

1. 다항식의 나눗셈 기본꼴

\(  f(x)=g(x)Q(x)+R(x)   \)   

\(  f(x)   \)를 \(  g(x)   \)로 나누면 \(  Q(x)   \)가 몫이 되고 \(  R(x)   \)가 나머지가 됩니다. 

그리고 \(R(x)\)는 \(g(x)\)보다 차수가 낮습니다.

구체적인 나눗셈 방법은 예제 하나만 보면 바로 이해가 갑니다.

기본꼴의 형태로 나타내보면 

\(   x^{4}-5x^{2}+3x+4 \)

\( =(x^{2}-3x+1)(x^{2}+3x+3)+9x+1   \)

\( f(x)=x^{4}-5x^{2}+3x+4 \)

\( g(x)=x^{2}-3x+1  \)

\(  Q(x)=x^{2}+3x+3  \)

\(  R(x)=9x+1  \)

입니다.

 

2. 나머지 정리

\( f(x) \)를 \( x-\alpha \)로 나누었을 때의 나머지 \( R=f( \alpha ) \)입니다.

이건 기본꼴에 대입해보면 쉽게 알 수 있습니다.

\( f(x)=(x-\alpha)Q(x)+R(x) \)

\( f( \alpha)=R(\alpha) \)

마찬가지로 \( f(x) \)를 \( ax+b \)로 나누었을 때의 나머지는

\( f(x)=(ax+b)Q(x)+R(x) \)

\( f(- \frac{b} {a} )=R( - \frac{b} {a} ) \)

위의 두 공식 모두 몫이 있는 항을 0으로 만들어줌으로써 나머지만 남기는 걸 알 수 있습니다.

1차식으로 나눌 때는 나머지가 0차항 즉 상수가 되므로 \( f(\alpha) \)나 \(f(- \frac{b}{a} ) \)이 곧 나머지가 됩니다

 

3. 인수 정리

\( f( \alpha )=0 \)이면 \(f(x)\)는 \(  x-\alpha   \)로 나누어 떨어진다.

나머지 정리에서 바로 유도됩니다

 

4. 다항식의 나눗셈과 진법

십진법, 이진법과 같은 진법을 이해하는데 있어서 다항식이 도움이 됩니다. 

십진법의 숫자 15849를 풀어쓰면 

\(   15849=10000+5000+800+40+9   \)

\(  =1 \times 10^{4} + 5 \times 10^{3} + 8 \times 10^{2} +4 \times 10^{1} +9 \times 10^{0}    \)

\(  =1 \times 10^{4} + 5 \times 10^{3} + 8 \times 10^{2} + 4 \times 10 + 9     \)

입니다. 

이진법의 숫자 101011을 풀어쓰면 

\(  101011=100000+1000+10+1    \)

\(   =1 \times 2^{5}+0 \times 2^{4} +1 \times 2^{3} +0 \times 2^{2}+ 1 \times 2+ 1  \)

 

이런 관점에서 일반적인 \( x\)진법의 \( n \)자리 숫자는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\(  a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...... +a_{1}x+a_{0}   \) (단, 임의의 \( i\)에 대해 \(  x>a_i \) )

 

이렇게 진법으로 이해하면 다항식을 어째서 다음과 같은 방식으로 나누는지 이해할 수 있습니다.