2. 곱셈 공식

다항식과 다항식의 곱을 풀어서 단항식의 합으로 나타내는 것을 '식을 전개한다'고한다.

매번 전개할 때마다 연산의 기본 법칙을 사용할 수 도 있지만, 자주 사용되는 형태를 외워두면 보다 빠르고 편하게 식을 전개할 수 있다.

억지로 공식을 다 외우려하지는 말고, 적당히 외우고나서는 문제를 많이 풀어보면 자주 쓰이는 공식부터 저절로 외워진다. 처음에는 좀 귀찮더라도 한번쯤은 결합법칙이나 분배법칙을 사용하여 일일이 공식을 전개하여 보는 것도 암기에 도움이 된다.

1. 곱셈 공식

(1) \(  {(a+b)}^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}  \),   \(  {(a-b)}^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}     \)

(2) \(  (a+b)(a-b) = a^{2} - b^{2}     \) 

(3) \(  (x+a)(x+b) = x^{2} + (a+b)x + ab      \) 

(4) \(  (ax+b)(cx+d) = acx^{2} + (ad+bc)x + bd    \)

(5) \(  (x+a)(x+b)(x+c)  \)

\(  = x^{3} + (a+b+c)x^{2} + (ab+bc+ca)x + abc    \)

(6) \(  (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca     \)

(7) \(  (a+b)^{3}= a^{3} +3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}    \),   \(  (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}     \)

(8) \(  (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}     \),   \(   (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}    \)

(9) \(  (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)  \)

\(  =a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc     \)

(10) \(  (a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2}) = a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}    \)

 

2. 곱셈 공식의 변형

(1) \(   a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab, \quad a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab  \)

(2) \(   a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)  \)'  

\( a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+2ab(a-b)  \)

(3) \(  a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)   \)